II. Wahrscheinlichkeit

0.1 I. Missverständnisse

Dieser Abschnitt klärt wichtige begriffliche Missverständnisse.

• Hohe Wahrscheinlichkeit garantiert keinen Erfolg
• Unwahrscheinlich heißt nicht unmöglich
• Eine Wahrscheinlichkeit von Null heißt nicht unmöglich

0.2 II. Theoretische Modelle und Verteilungen

Hier werden die klassischen Zufallsexperimente und die wichtigsten diskreten Verteilungsmodelle eingeführt.

• Einführung
  • Münzwurf
  • Galton-Brett
• Laplace-Experiment
  • Laplace-Formel
• Theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Gleichverteilung
  • Bernoulli-Versuch
    • Erfolg und Misserfolg
  • Bernoulli-Verteilung
  • Binomialverteilung
    • Form und Symmetrien der Binomialverteilung
    • Einfluss der Erfolgswahrscheinlichkeit p
    • Symmetrie um n/2
    • Einfluss von n
      • Satz von Moivre-Laplace, Laplace-Bedingung
  • Hypergeometrische Verteilung
  • Poisson-Verteilung
    • Poisson-Approximation
  • Übersicht diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
• Anwendungsbeispiele Wahrscheinlichkeitsverteilungen
  • Gleichverteilung
  • Benfordsches Gesetz

0.3 III. Zählmethoden und zusammengesetzte Versuche

Der Übergang zu komplexeren Szenarien, die kombinatorische Überlegungen erfordern.

• Mehrstufige Zufallsversuche
• Kombinatorik
  • Urnenmodell

0.4 IV. Das formale Fundament (Axiomatik)

Die mathematische Basis der Wahrscheinlichkeitstheorie und grundlegende Definitionen.

• Wahrscheinlichkeitstheorie
  • Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung
    1. Nichtnegativität
    2. Normiertheit
    3. Additivität
  • Abgeleitete Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
  • Bedingte Wahrscheinlichkeit
  • Unabhängigkeit von Ereignissen
  • Geburtstagsproblem

0.5 V. Erweiterte Rechenregeln und Sätze

Komplexere Werkzeuge zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in vernetzten Systemen.

• Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
  • Unabhängigkeit von Ereignissen
  • Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
  • Baumdiagramm
    • Monty Hall Problem (Ziegenproblem)
  • Markov-Kette
  • Satz von Bayes
    • Krankheitsscreening
    • Monty Hall Problem (Ziegenproblem)

0.6 VI. Analyse mittels Tafeln

Methoden zur Visualisierung und Überprüfung von Zusammenhängen zweier Merkmale.

• Kontingenztafel
  • Vierfeldertafel
  • Wahrscheinlichkeit bedingter Ereignisse
  • Überprüfung Unabhängigkeit von Ereignissen
  • Konfusionsmatrix

# Grundlagen der Wahrscheinlichkeit

-   Definitionen: Relative Häufigkeit vs. Wahrscheinlichkeit

-   Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Nichtnegativität, Normiertheit, Additivität)

-   Laplace-Experimente & Gleichverteilung

-   Kombinatorik (Urnenmodelle)

# Bedingte Wahrscheinlichkeit & Zusammenhänge

-   Unabhängigkeit von Ereignissen

-   Satz der totalen Wahrscheinlichkeit

-   Satz von Bayes

-   Baumdiagramme & Kontingenztafeln (Vierfeldertafel)

-   Beispiele: Ziegenproblem (Monty Hall), Geburtstagsproblem

# Theoretische Verteilungsmodelle

-   Diskrete Verteilungen:

    -   Bernoulli-Verteilung (Erfolg/Misserfolg)

    -   Binomialverteilung (Form, Symmetrie, Einfluss von n und p)

    -   Hypergeometrische Verteilung

    -   Poisson-Verteilung

-   Stetige Verteilungen:

    -   Gleichverteilung

    -   Normalverteilung (Gauß): Eigenschaften, σ-Regeln

    -   Standardnormalverteilung (z-Verteilung) & z-Transformation

    -   Log-Normalverteilung

# Grenzwertsätze

-   Gesetz der großen Zahlen

-   Zentraler Grenzwertsatz (CLT)

-   Bienaymé-Tschebyscheff-Ungleichung

-   Satz von Moivre-Laplace