Missverständnisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie
1 Hohe Wahrscheinlichkeit garantiert keinen Erfolg
Warnung vor dem Trugschluss, dass eine hohe statistische Sicherheit (z. B. 99,9 %) einen Einzelfall garantiert schützt.
- Das Szenario: Ingenieure entwickeln eine Rakete mit einer Erfolgsquote von 99,9 %. Was fast perfekt klingt.
- Die statistische Realität: Auf lange Sicht (z. B. bei 1.000 Starts) bedeutet dies, dass im Schnitt 1 Fehlstart passieren wird. Der Fehler ist also statistisch erwartbar.
- Die individuelle Realität: Wenn genau deine Rakete die eine ist, die explodiert, nützt dir die Statistik nichts. Für dich persönlich liegt die Fehlerwahrscheinlichkeit in diesem Moment bei 100 %.
Fazit: Wahrscheinlichkeiten machen Aussagen über große Mengen, bieten aber keine Garantie für den Einzelfall.
2 Unwahrscheinlich heißt nicht unmöglich
Warum sehen wir keine Menschen über 2,40 m, obwohl die Wahrscheinlichkeit dafür in der Normalverteilung nicht exakt Null ist.
Faktencheck:
Das Ereignis ist eingetreten. Robert Wadlow war mit 2,72 m der größte gemessene Mensch der Geschichte. Das zeigt: Selbst extremste Randbereiche der Statistik können Realität werden.Mathematisch gesehen:
Die Rechnung zeigt, wie unfassbar klein die Chance theoretisch ist:- Die Wahrscheinlichkeit für > 2,40 m liegt bei ca. 3,8 \cdot 10^{-13} (eine Zahl mit 12 Nullen nach dem Komma).
- In der heutigen Welt: Bei 8 Milliarden Menschen würde man statistisch 0,0031 Menschen erwarten (also eigentlich niemanden).
- In der gesamten Geschichte: Selbst wenn man alle 160 Milliarden Menschen nimmt, die jemals gelebt haben, kommt man statistisch nur auf 0,06 Menschen.
Die Einschränkung:
Dass es Robert Wadlow trotzdem gab (und er sogar viel größer war), liegt daran, dass reine Statistik an ihre Grenzen stößt. Hier greifen biologische Faktoren (wie Gendefekte), die oft zu frühem Tod führen und die ideale Kurve der Normalverteilung in der Realität verzerren.
3 Eine Wahrscheinlichkeit von Null heißt nicht unmöglich
3.1 Das Gedankenexperiment
Stell dir vor, du wirfst einen Pfeil auf eine Dartscheibe. Wir nehmen an:
- Du triffst die Scheibe auf jeden Fall.
- Jeder Punkt auf der Scheibe ist gleich wahrscheinlich.
- Da die Scheibe eine Fläche ist, besteht sie aus unendlich vielen, unendlich kleinen Punkten.
3.2 Die mathematische Zwickmühle
Wenn du berechnen willst, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, exakt einen bestimmten Punkt zu treffen, gerätst du in einen Widerspruch:
- Die Rechnung: Wahrscheinlichkeit P = \frac{1}{\text{Anzahl der Punkte}}. Da es unendlich viele Punkte sind, teilst du 1 durch Unendlich. Der Grenzwert ist \lim_{\text{Anzahl der Punkte} \to \infty}{\frac{1}{\text{Anzahl der Punkte}}}=0.
- Das Paradoxon:
- Ist die Wahrscheinlichkeit 0? Dann dürftest du die Scheibe eigentlich nie treffen (denn irgendeinen Punkt triffst du ja immer).
- Ist die Wahrscheinlichkeit größer als 0? Dann wäre die Summe aller Wahrscheinlichkeiten (bei unendlich vielen Punkten) unendlich groß. Sie muss aber exakt 1 ergeben.
3.3 Die Auflösung: Stetig vs. Diskret
A. Die diskrete Welt (z. B. Würfeln) Hier gibt es eine begrenzte Anzahl an Ergebnissen (1, 2, 3, 4, 5, 6).
- Hier bedeutet Wahrscheinlichkeit 0 tatsächlich UNMÖGLICH.
- Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, eine 7 zu würfeln, ist 0. Das Ereignis tritt niemals ein.
B. Die stetige Welt (z. B. Dartscheibe, Zeit, Länge) Hier ist der Ergebnisraum unendlich (kontinuierlich).
- Hier bedeutet Wahrscheinlichkeit 0 nicht, dass das Ereignis unmöglich ist.
- Es bedeutet nur, dass es “fast sicher” nicht eintritt, weil es unendlich viele Alternativen gibt.
- Das Ereignis (den Punkt zu treffen) ist möglich, aber seine Wahrscheinlichkeit ist unendlich klein (ein sogenanntes “Nullereignis”).
Zusammenfassend: Dass der Pfeil stecken bleibt, beweist, dass Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 0 eintreten können – solange wir uns in einem unendlichen (stetigen) Raum bewegen.